Упр.262 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Пользуясь результатами задач 260—261, докажите, что любое решение дифференциального уравнения $$x»(t)=-\omega^2x(t)$$ может быть записано в виде $$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$.

Пусть общее решение уравнения имеет вид

$$x(t)=C_1\cos \omega t+C_2\sin \omega t.$$

Если $$C_1=C_2=0,$$ то $$x(t)\equiv 0,$$ и это тоже можно записать в виде

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

при $$A=0.$$

Если же решение нетривиально, то положим

$$A=\sqrt{C_1^2+C_2^2}.$$

Тогда можно выбрать угол $$\varphi$$ так, чтобы

$$C_1=A\cos\varphi,\qquad C_2=-A\sin\varphi.$$

Действительно, при таком выборе

$$\begin{aligned} A\cos(\omega t+\varphi) &=A(\cos\omega t\cos\varphi-\sin\omega t\sin\varphi)\\ &=A\cos\varphi\cos\omega t-A\sin\varphi\sin\omega t\\ &=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t. \end{aligned}$$

Следовательно, любое решение уравнения $$x»(t)=-\omega^2x(t)$$ можно записать в виде

$$x=A\cos(\omega t+\varphi).$$

Ответ

$$x=A\cos(\omega t+\varphi).$$