Упр.261 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что существует решение уравнения $$x»(t)=-?^2x(t)$$, имеющее вид $$x=A\cos(?t+?)$$ и удовлетворяющее начальным условиям $$x(0)=x_0$$, $$x'(0)=v_0$$.

Пусть

$$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).$$

Тогда

$$x'(t)=-\omega A\sin(\omega t+\varphi),$$

$$x»(t)=-\omega^2A\cos(\omega t+\varphi).$$

Но так как $$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),$$ то

$$x»(t)=-\omega^2x(t).$$

Следовательно, функция вида $$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$ действительно является решением уравнения $$x»(t)=-\omega^2x(t).$$

Осталось подобрать параметры $$A$$ и $$\varphi$$ из начальных условий:

$$x(0)=A\cos\varphi=x_0,$$

$$x'(0)=-\omega A\sin\varphi=v_0.$$

Из этих равенств можно выбрать $$A$$ и $$\varphi$$ так, чтобы выполнялись оба условия, например:

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}},$$

а угол $$\varphi$$ определяется из системы

$$\cos\varphi=\frac{x_0}{A}, \qquad \sin\varphi=-\frac{v_0}{\omega A}.$$

Значит, решение с указанным видом существует.

Ответ

Существует решение вида $$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$, причём оно удовлетворяет уравнению $$x»(t)=-\omega^2x(t)$$ и при подходящем выборе $$A$$ и $$\varphi$$ выполняет начальные условия $$x(0)=x_0$$, $$x'(0)=v_0$$.