Упр.260 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Неоднородный стержень $$AB$$ имеет длину $$12\ \text{см}$$. Масса его части $$AM$$ растёт пропорционально квадрату расстояния точки $$M$$ от конца $$A$$ и равна $$10\ \text{г}$$ при $$AM=2\ \text{см}$$. Найдите:

1. массу всего стержня $$AB$$ и линейную плотность в любой его точке;
2. линейную плотность стержня в точках $$A$$ и $$B$$.

Пусть $$m(x)$$ — масса части стержня $$AM$$ длиной $$x$$ см. По условию она пропорциональна квадрату расстояния, значит

$$m(x)=kx^2.$$

Из условия $$m(2)=10$$ получаем:

$$10=k\cdot 2^2=4k,$$

откуда

$$k=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$m(x)=\frac{5}{2}x^2.$$

Линейная плотность стержня равна производной массы по длине:

$$\rho(x)=m'(x)=\left(\frac{5}{2}x^2\right)’=5x.$$

1) Масса всего стержня длиной $$12$$ см:

$$m(12)=\frac{5}{2}\cdot 12^2=\frac{5}{2}\cdot 144=360.$$

Значит, масса стержня равна $$360$$ г, а линейная плотность в любой его точке:

$$\rho(x)=5x \text{ г/см}.$$

2) Линейная плотность в точке $$A$$:

$$\rho(0)=5\cdot 0=0,$$

в точке $$B$$:

$$\rho(12)=5\cdot 12=60.$$

Ответ: $$360$$ г; $$\rho(x)=5x$$ г/см; в точках $$A$$ и $$B$$ — $$0$$ и $$60$$ г/см.