Упр.260 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Угол, под которым график пересекает ось $$Oy$$, равен углу наклона касательной в точке пересечения с осью $$Oy$$. Для этого находим производную и значение $$f'(0)$$.

а)

$$f(x)=\frac{1}{x-1}$$

$$f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$$

$$f'(0)=-\frac{1}{(0-1)^2}=-1$$

Значит, $$\tan \alpha=-1,$$ откуда $$\alpha=\frac{3\pi}{4}.$$

б)

$$f(x)=\frac{1}{2}\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}$$

$$f'(0)=\frac{1}{2\cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{2\cdot \frac12}=1$$

Следовательно, $$\tan \alpha=1,$$ значит $$\alpha=\frac{\pi}{4}.$$

в)

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2$$

$$f'(x)=x-1$$

$$f'(0)=-1$$

Тогда $$\tan \alpha=-1,$$ откуда $$\alpha=\frac{3\pi}{4}.$$

г)

$$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$

$$f'(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$

$$f'(0)=2\cos\frac{\pi}{6}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$

Значит, $$\tan \alpha=\sqrt{3},$$ поэтому $$\alpha=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{3\pi}{4}$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$; в) $$\frac{3\pi}{4}$$; г) $$\frac{\pi}{3}$$.