Упр.260 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$x_1(t)$$ и $$x_2(t)$$ — два решения уравнения $$x»(t)=-?^2x(t)$$. Докажите, что функции $$x_1(t)-x_2(t)$$ и $$kx_1(t)$$, где $$k$$ — произвольное число, также являются решениями этого уравнения.

Пусть $$x_1(t)$$ и $$x_2(t)$$ — решения уравнения

$$x»(t)=-\omega^2x(t).$$

Тогда

$$x_1»(t)=-\omega^2x_1(t), \qquad x_2»(t)=-\omega^2x_2(t).$$

1. Рассмотрим функцию $$x(t)=x_1(t)-x_2(t).$$ Тогда

   $$x»(t)=x_1»(t)-x_2»(t).$$

   Подставим выражения для $$x_1»(t)$$ и $$x_2»(t)$$:

   $$x»(t)=-\omega^2x_1(t)-\bigl(-\omega^2x_2(t)\bigr)=-\omega^2\bigl(x_1(t)-x_2(t)\bigr).$$

   Значит,

   $$x»(t)=-\omega^2x(t),$$

   то есть функция $$x_1(t)-x_2(t)$$ также является решением данного уравнения.

2. Рассмотрим функцию $$x(t)=kx_1(t),$$ где $$k$$ — произвольное число. Тогда

   $$x»(t)=k x_1»(t).$$

   Используя уравнение для $$x_1(t)$$, получаем:

   $$x»(t)=k\bigl(-\omega^2x_1(t)\bigr)=-\omega^2(kx_1(t))=-\omega^2x(t).$$

   Следовательно, $$kx_1(t)$$ тоже является решением уравнения.

Таким образом, утверждение доказано.