Упр.26 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Могут ли быть членами одной геометрической прогрессии числа: а) $$10, 11, 12$$; б) $$81, -36, 24$$?

Пусть данные числа являются членами одной геометрической прогрессии. Тогда для любых её членов выполняется соотношение

$$\frac{b_k}{b_n}=q^{k-n}, \qquad \frac{b_m}{b_n}=q^{m-n}.$$

а)

Для чисел $$10,\ 11,\ 12$$ получаем:

$$q^{k-n}=\frac{11}{10}, \qquad q^{m-n}=\frac{12}{10}=\frac65.$$

Возведём первое равенство в степень $$m-n$$, а второе — в степень $$k-n$$:

$$q^{(k-n)(m-n)}=\left(\frac{11}{10}\right)^{m-n}, \qquad q^{(k-n)(m-n)}=\left(\frac65\right)^{k-n}.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{11}{10}\right)^{m-n}=\left(\frac65\right)^{k-n}.$$

После преобразования получаем противоречие, так как числа $$10,\ 11,\ 12$$ не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

б)

Для чисел $$81,\ -36,\ 24$$ имеем:

$$q^{k-n}=\frac{-36}{81}=-\frac49, \qquad q^{m-n}=\frac{24}{81}=\frac8{27}.$$

Тогда

$$q^{(k-n)(m-n)}=\left(-\frac49\right)^{m-n}=\left(\frac8{27}\right)^{k-n}.$$

Преобразуем:

$$(-4)^{m-n}\cdot 27^{k-n}=8^{k-n}\cdot 9^{m-n}.$$

То есть

$$(-4)^{m-n}\cdot 3^{3(k-n)}=2^{3(k-n)}\cdot 3^{2(m-n)}.$$

Это невозможно, значит числа $$81,\ -36,\ 24$$ также не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

Ответ: а) нет; б) нет.