Упр.259 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Длина вертикально стоящей лестницы равна $$5\ \text{м}$$. Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью $$2\ \text{м/с}$$. С какой скоростью опускается в момент времени $$t$$ верхний конец лестницы, с каким ускорением?

Обозначим через $$x(t)$$ расстояние от стены до нижнего конца лестницы, а через $$y(t)$$ — высоту верхнего конца лестницы над землёй. Тогда

$$x(t)=2t,$$

так как нижний конец скользит со скоростью $$2\ \text{м/с}$$. Длина лестницы постоянна и равна $$5\ \text{м}$$, значит

$$x^2+y^2=25.$$

Отсюда

$$y(t)=\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-4t^2}.$$

Найдём скорость опускания верхнего конца:

$$y'(t)=\frac{d}{dt}\sqrt{25-4t^2}=-\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}.$$

Значит, модуль скорости опускания равен

$$\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}\ \text{м/с}.$$

Теперь найдём ускорение:

$$y»(t)=\frac{d}{dt}\left(-\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}\right)=\frac{100}{\left(25-4t^2\right)^{3/2}}.$$

Следовательно, ускорение верхнего конца лестницы равно

$$\frac{100}{\left(25-4t^2\right)^{3/2}}\ \text{м/с}^2.$$

Ответ

$$\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}\ \text{м/с},\qquad \frac{100}{\left(25-4t^2\right)^{3/2}}\ \text{м/с}^2.$$