Упр.259 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём углы, под которыми графики пересекают ось $$Ox$$. Для этого сначала находим точки пересечения с осью $$Ox$$, то есть решаем уравнение $$f(x)=0$$, а затем вычисляем производную в этих точках: $$k=f'(x_0)=\tg \alpha$$.

а) $$f(x)=3x-x^3$$

Решим уравнение:

$$3x-x^3=0 \\\\ x(3-x^2)=0 \\\\ x_1=0,\quad x_{2,3}=\pm \sqrt{3}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3-3x^2$$

Тогда угловые коэффициенты касательных в точках пересечения:

$$k_1=f'(0)=3,\qquad \alpha_1=\arctg 3$$

$$k_2=f'(\sqrt{3})=3-3\cdot 3=-6,\qquad \alpha_2=\arctg(-6)=-\arctg 6$$

$$k_3=f'(-\sqrt{3})=3-3\cdot 3=-6,\qquad \alpha_3=\arctg(-6)=-\arctg 6$$

б) $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Решим уравнение:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \\\\ x+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z} \\\\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

Производная:

$$f'(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

В точках пересечения:

$$k=f’\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n\right)=\cos(\pi n)=(-1)^n$$

Значит, возможны два угла:

$$k=1 \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4},\qquad k=-1 \Rightarrow \alpha=\frac{3\pi}{4}$$

в) $$f(x)=x^2-3x+2$$

Решим уравнение:

$$x^2-3x+2=0 \\\\ (x-1)(x-2)=0 \\\\ x_1=1,\quad x_2=2$$

Производная:

$$f'(x)=2x-3$$

Тогда:

$$k_1=f'(1)=-1,\qquad \alpha_1=\frac{3\pi}{4}$$

$$k_2=f'(2)=1,\qquad \alpha_2=\frac{\pi}{4}$$

г) $$f(x)=-\cos x$$

Решим уравнение:

$$-\cos x=0 \\\\ \cos x=0 \\\\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Производная:

$$f'(x)=\sin x$$

В точках пересечения:

$$k=f’\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=(-1)^n$$

Следовательно, углы пересечения равны:

$$k=1 \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4},\qquad k=-1 \Rightarrow \alpha=\frac{3\pi}{4}$$

Ответ

а) $$\alpha=\arctg 3,\,-\arctg 6$$;
б) $$\alpha=\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}$$;
в) $$\alpha=\frac{3\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}$$;
г) $$\alpha=\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}$$.