Упр.259 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что полная энергия $$E=\frac{mv^2}{2}+u(x)$$ материальной точки массой $$m$$, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется ($$u(x)$$ — потенциальная энергия).

Полная энергия тела:

$$E(t)=\frac{mv^2}{2}+u(x).$$

Так как движение происходит по прямой, то $$v=x'(t),$$ а ускорение $$a=x»(t).$$

Найдём производную энергии по времени:

$$E'(t)=\frac{m}{2}\cdot 2v v’ + u'(x)\,x'(t) = mvv’ + u'(x)v.$$

По второму закону Ньютона сила равна $$F=ma,$$ а для потенциальной энергии $$F=-u'(x).$$ Тогда

$$ma=-u'(x).$$

Подставим это в выражение для производной энергии:

$$E'(t)=mv a + u'(x)v = v\bigl(ma+u'(x)\bigr) = v\bigl(-u'(x)+u'(x)\bigr)=0.$$

Значит, $$E(t)$$ не зависит от времени, то есть

$$E(t)=C,$$

где $$C$$ — постоянная.

Ответ

Полная энергия $$E=\frac{mv^2}{2}+u(x)$$ сохраняется, то есть $$E=\text{const}.$$