Упр.258 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Концы отрезка $$AB$$ длиной $$5\ \text{м}$$ скользят по координатным осям. Скорость перемещения конца $$A$$ равна $$2\ \text{м/с}$$. Какова величина скорости перемещения конца $$B$$ в тот момент, когда конец $$A$$ находится от начала координат на расстоянии $$3\ \text{м}$$?

Пусть конец $$A$$ движется по оси $$Ox$$, а конец $$B$$ — по оси $$Oy$$. Обозначим через $$x$$ и $$y$$ расстояния точек $$A$$ и $$B$$ от начала координат. Тогда

$$x^2+y^2=25,$$

так как длина отрезка $$AB$$ равна $$5$$ м.

По условию скорость конца $$A$$ равна $$2$$ м/с, значит

$$\frac{dx}{dt}=2.$$

Найдём скорость конца $$B$$. Дифференцируем равенство $$x^2+y^2=25$$ по времени:

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0,$$

откуда

$$\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Когда $$x=3$$, получаем

$$y=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4.$$

Тогда

$$\frac{dy}{dt}=-\frac{3}{4}\cdot 2=-\frac{3}{2}.$$

Следовательно, величина скорости конца $$B$$ равна

$$\left|\frac{dy}{dt}\right|=1{,}5\ \text{м/с}.$$

Ответ

$$1{,}5\ \text{м/с}$$