Упр.258 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда $$f'(x)=0.$$

а)

$$f(x)=2\cos x+x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2\sin x+1.$$

Приравняем её к нулю:

$$-2\sin x+1=0,\qquad \sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Найдём соответствующие ординаты:

$$f\!\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)=2\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}+2\pi n=\sqrt3+\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$f\!\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right)=2\cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)+\frac{5\pi}{6}+2\pi n=-\sqrt3+\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Значит, точки касания:

$$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\sqrt3+\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\qquad \left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\sqrt3+\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$f(x)=\sin 2x+\sqrt3\,x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cos 2x+\sqrt3.$$

Приравняем её к нулю:

$$2\cos 2x+\sqrt3=0,\qquad \cos 2x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Найдём ординаты:

$$f\!\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)=\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right)+\sqrt3\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)=\frac12+\sqrt3\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right),$$

$$f\!\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)=\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right)+\sqrt3\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)=-\frac12+\sqrt3\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right).$$

Следовательно, точки касания:

$$\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n;\,\frac12+\sqrt3\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)\right),\qquad \left(\frac{7\pi}{12}+\pi n;\,-\frac12+\sqrt3\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$f(x)=\cos\!\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\sin\!\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Приравняем её к нулю:

$$-\sin\!\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=0,\qquad \sin\!\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=0.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{3}=\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ординаты точек:

$$f\!\left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)=\cos(\pi n)=(-1)^n.$$

Значит, точки касания:

$$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,1\right),\qquad \left(\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,-1\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$f(x)=\sqrt2\,x-2\sin x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt2-2\cos x.$$

Приравняем её к нулю:

$$\sqrt2-2\cos x=0,\qquad \cos x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Найдём ординаты:

$$f\!\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)=\sqrt2\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)-2\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)=\sqrt2\left(\frac{\pi}{4}-1\right)+2\sqrt2\,\pi n,$$

$$f\!\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)=\sqrt2\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)-2\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)=\sqrt2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt2\,\pi n.$$

Следовательно, точки касания:

$$\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\sqrt2\left(\frac{\pi}{4}-1\right)+2\sqrt2\,\pi n\right),\qquad \left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\sqrt2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt2\,\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\sqrt3+\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ \left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\sqrt3+\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n;\,\frac12+\sqrt3\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)\right),\ \left(\frac{7\pi}{12}+\pi n;\,-\frac12+\sqrt3\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)\right),\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,1\right),\ \left(\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,-1\right),\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\sqrt2\left(\frac{\pi}{4}-1\right)+2\sqrt2\,\pi n\right),\ \left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\sqrt2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt2\,\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$