Упр.258 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть при движении по прямой тело массой $$m$$ в точке с координатой $$x$$ обладает потенциальной энергией $$U(x)$$. Докажите, что:

а) координата $$x(t)$$ тела при движении по прямой удовлетворяет дифференциальному уравнению $$mx»(t)=-U'(x)$$;

б) потенциальная энергия $$U(x)$$ материальной точки массой $$m$$, совершающей гармоническое колебание $$x»=-\omega^2x$$, равна $$\frac{kx^2}{2}$$, где $$k=m\omega^2$$ (положите $$U(0)=0$$).

Пусть сила, действующая на материальную точку, равна $$F(x)=-u'(x).$$

По второму закону Ньютона

$$m x»(t)=F(x).$$

Следовательно,

$$m x»(t)=-u'(x).$$

Это и требовалось доказать.

Для гармонического колебания

$$x»(t)=-\omega^2 x(t).$$

Тогда из пункта а) получаем

$$-u'(x)=m x»(t)=-m\omega^2 x,$$

то есть

$$u'(x)=m\omega^2 x.$$

Интегрируя, имеем

$$u(x)=\frac{m\omega^2 x^2}{2}+C.$$

По условию $$u(0)=0,$$ значит $$C=0.$$ Поэтому

$$u(x)=\frac{m\omega^2 x^2}{2}=\frac{kx^2}{2}, \qquad k=m\omega^2.$$

Это и требовалось доказать.