Упр.257 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Из пункта А по двум прямым, угол между которыми $$60^\circ$$, одновременно начали двигаться два тела. Первое движется равномерно со скоростью $$5\ \text{км/ч}$$, второе — по закону $$s(t)=2t^2-t$$. С какой скоростью они удаляются друг от друга в момент $$t=3\ \text{ч}$$? (s измеряется в километрах, t — в часах.)

Пусть расстояние между телами в момент времени $$t$$ равно $$S(t)$$.

Первое тело прошло за время $$t$$ путь $$5t$$, второе — $$2t^2-t$$. Угол между направлениями движения равен $$60^\circ$$, поэтому по теореме косинусов

$$S^2(t)=(5t)^2+(2t^2-t)^2-2\cdot 5t\cdot(2t^2-t)\cos 60^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, получаем

$$S^2(t)=25t^2+(2t^2-t)^2-5t(2t^2-t).$$

Раскроем скобки:

$$S^2(t)=25t^2+4t^4-4t^3+t^2-10t^3+5t^2 =4t^4-14t^3+31t^2.$$

Значит,

$$S(t)=\sqrt{4t^4-14t^3+31t^2}.$$

Найдём производную:

$$S'(t)=\frac{16t^3-42t^2+62t}{2\sqrt{4t^4-14t^3+31t^2}}.$$

Подставим $$t=3$$:

$$S'(3)=\frac{16\cdot 27-42\cdot 9+62\cdot 3}{2\sqrt{4\cdot 81-14\cdot 27+31\cdot 9}} =\frac{432-378+186}{2\sqrt{324-378+279}} =\frac{240}{2\sqrt{225}} =\frac{240}{30}=8.$$

Ответ: $$8$$ км/ч.