Упр.257 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда $$f'(x)=0.$$ Найдём такие точки для каждой функции.

а)

$$f(x)=x^3-3x^2+3x$$

$$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$3(x-1)^2=0,\quad x=1.$$

Найдём ординату точки:

$$y=f(1)=1^3-3\cdot1^2+3\cdot1=1.$$

Итак, искомая точка: $$\,(1;1).$$

б)

$$f(x)=\frac12x^4+16x$$

$$f'(x)=2x^3+16.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2x^3+16=0,\quad x^3=-8,\quad x=-2.$$

Найдём ординату точки:

$$y=f(-2)=\frac12\cdot(-2)^4+16\cdot(-2)=8-32=-24.$$

Итак, искомая точка: $$\,(-2;-24).$$

в)

$$f(x)=3x^4-6x^2+2$$

$$f'(x)=12x^3-12x=12x(x-1)(x+1).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$12x(x-1)(x+1)=0,\quad x=0,\; x=1,\; x=-1.$$

Найдём соответствующие ординаты:

$$f(0)=2,$$

$$f(1)=3-6+2=-1,$$

$$f(-1)=3-6+2=-1.$$

Итак, искомые точки: $$\,(0;2),\ (1;-1),\ (-1;-1).$$

г)

$$f(x)=x^3-3x+1$$

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$3(x-1)(x+1)=0,\quad x=1,\; x=-1.$$

Найдём ординаты точек:

$$f(1)=1-3+1=-1,$$

$$f(-1)=-1+3+1=3.$$

Итак, искомые точки: $$\,(1;-1),\ (-1;3).$$

Ответ

а) $$\,(1;1);$$ б) $$\,(-2;-24);$$ в) $$\,(0;2),\ (1;-1),\ (-1;-1);$$ г) $$\,(1;-1),\ (-1;3).$$