Упр.257 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Два тела начали движение по прямой одновременно из одной точки. Скорость первого $$v(t)=3t^2-6t$$, второго $$v(t)=10t+20$$. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча? (Скорость измеряется в метрах в секунду.)

Найдём законы движения тел, проинтегрировав их скорости:

$$S_1′(t)=3t^2-6t \Rightarrow S_1(t)=t^3-3t^2+C_1,$$
$$S_2′(t)=10t+20 \Rightarrow S_2(t)=5t^2+20t+C_2.$$

Так как оба тела начали движение из одной точки, то при $$t=0$$ имеем $$S_1(0)=S_2(0)=0$$. Следовательно, $$C_1=C_2=0$$, и

$$S_1(t)=t^3-3t^2,\qquad S_2(t)=5t^2+20t.$$

Момент встречи найдём из условия $$S_1(t)=S_2(t)$$:

$$t^3-3t^2=5t^2+20t$$
$$t^3-8t^2-20t=0$$
$$t(t^2-8t-20)=0.$$

Отсюда

$$t=0,\quad t=\frac{8\pm\sqrt{64+80}}{2}=\frac{8\pm12}{2}.$$

Получаем $$t=-2$$ и $$t=10$$. Отрицательное значение не подходит, значит, встреча произойдёт через $$10$$ с.

Найдём расстояние от начальной точки:

$$S(10)=10^3-3\cdot10^2=1000-300=700.$$

Ответ

$$10\text{ с};\ 700\text{ м}.$$