Упр.256 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=3\sin x,\quad x_0=\frac{\pi}{2},\quad x_0=\pi$$
$$f'(x)=3\cos x.$$
Уравнение касательной:
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$
Для $$x_0=\frac{\pi}{2}$$:
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=3,\qquad f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,$$
$$y=3.$$
Для $$x_0=\pi$$:
$$f(\pi)=0,\qquad f'(\pi)=-3,$$
$$y=-3(x-\pi)=-3x+3\pi.$$
б) $$f(x)=\tg x,\quad x_0=\frac{\pi}{4},\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
Для $$x_0=\frac{\pi}{4}$$:
$$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2,$$
$$y=1+2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2x+1-\frac{\pi}{2}.$$
Для $$x_0=\frac{\pi}{3}$$:
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},\qquad f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=4,$$
$$y=\sqrt{3}+4\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=4x+\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}.$$
в) $$f(x)=1+\cos x,\quad x_0=0,\quad x_0=\frac{\pi}{2}$$
$$f'(x)=-\sin x.$$
Для $$x_0=0$$:
$$f(0)=2,\qquad f'(0)=0,$$
$$y=2.$$
Для $$x_0=\frac{\pi}{2}$$:
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$
$$y=1-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-x+\frac{\pi}{2}+1.$$
г) $$f(x)=-2\sin x,\quad x_0=-\frac{\pi}{2},\quad x_0=\pi$$
$$f'(x)=-2\cos x.$$
Для $$x_0=-\frac{\pi}{2}$$:
$$f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2,\qquad f’\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$
$$y=2.$$
Для $$x_0=\pi$$:
$$f(\pi)=0,\qquad f'(\pi)=2,$$
$$y=2(x-\pi)=2x-2\pi.$$
Ответ:
а) $$y=3$$; $$y=-3x+3\pi$$.
б) $$y=2x+1-\frac{\pi}{2}$$; $$y=4x+\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}$$.
в) $$y=2$$; $$y=-x+\frac{\pi}{2}+1$$.
г) $$y=2$$; $$y=2x-2\pi$$.
