Упр.256 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что чётная непрерывная функция, определённая на $$[-a; a]$$, имеет по крайней мере одну нечётную первообразную.

Пусть $$f(x)$$ — чётная непрерывная функция на $$[-a;a]$$, то есть $$f(-x)=f(x)$$.

Рассмотрим функцию

$$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.$$

Тогда $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

Проверим, что эта первообразная нечётная:

$$F(-x)=\int_0^{-x} f(t)\,dt.$$

Сделаем замену переменной $$t=-u$$. Тогда $$dt=-du$$, и

$$F(-x)=\int_0^x f(-u)(-du)=-\int_0^x f(u)\,du=-F(x),$$

так как $$f(-u)=f(u)$$.

Следовательно, $$F(-x)=-F(x)$$, то есть $$F(x)$$ — нечётная функция.

Значит, у любой чётной непрерывной функции на $$[-a;a]$$ существует по крайней мере одна нечётная первообразная.

Ответ

Да, такая первообразная существует: $$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$$, и она нечётная.