Упр.255 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что любая первообразная нечетной непрерывной функции, определенная на $$[-a; a]$$, является четной функцией.

Пусть $$f(x)$$ — нечётная непрерывная функция на $$[-a;a]$$, а $$F(x)$$ — её первообразная, то есть $$F'(x)=f(x)$$.

Рассмотрим функцию

$$G(x)=F(x)-F(-x).$$

Тогда

$$G'(x)=F'(x)+F'(-x)\cdot(-1)=f(x)-f(-x).$$

Так как $$f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(-x)=-f(x)$$, значит

$$G'(x)=f(x)-(-f(x))=0.$$

Следовательно, $$G(x)$$ — постоянная функция:

$$F(x)-F(-x)=C.$$

Подставим $$x=0$$:

$$F(0)-F(0)=C,$$

откуда $$C=0$$. Значит,

$$F(x)-F(-x)=0,$$

то есть

$$F(x)=F(-x).$$

Следовательно, любая первообразная нечётной непрерывной функции является чётной функцией.

Ответ

Любая первообразная нечётной непрерывной функции на $$[-a;a]$$ является чётной.