Упр.254 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

По прямой движутся две точки. Определите промежуток времени, в течение которого скорость первой точки была меньше скорости второй, если: а) $$x_1(t)=2\frac{2}{3}t^3$$, $$x_2(t)=2t-3$$; б) $$x_1(t)=9t^2+1$$, $$x_2(t)=t^3$$.

Скорости точек равны производным их координат:

$$v_1(t)=x_1′(t), \qquad v_2(t)=x_2′(t).$$

а)

$$x_1(t)=2\frac{2}{3}t^3=\frac{8}{3}t^3, \qquad x_2(t)=2t-3.$$

Тогда

$$v_1(t)=\left(\frac{8}{3}t^3\right)’=8t^2, \qquad v_2(t)=(2t-3)’=2.$$

Найдём, когда скорость первой точки меньше скорости второй:

$$8t^2<2,$$

$$t^2<\frac14,$$

$$-\frac12<t<\frac12.$$

Так как время неотрицательно, получаем

$$0<t<\frac12.$$

б)

$$x_1(t)=9t^2+1, \qquad x_2(t)=t^3.$$

Тогда

$$v_1(t)=(9t^2+1)’=18t, \qquad v_2(t)=(t^3)’=3t^2.$$

Решим неравенство

$$18t<3t^2,$$

$$6t<t^2,$$

$$t^2-6t>0,$$

$$t(t-6)>0.$$

Отсюда

$$t<0 \quad \text{или} \quad t>6.$$

С учётом смысла времени остаётся

$$t>6.$$

Ответ: а) $$\left(0;\frac12\right)$$; б) $$\left(6;+\infty\right).$$