Упр.254 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Для функции $$f$$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $$M$$. Постройте график первообразной.
а) $$f(x)=\begin{cases}\cos x, & x<0,\\ 1, & x\ge 0,\end{cases}\quad M(0;0);$$
б) $$f(x)=\begin{cases}1, & x<1,\\ \dfrac{1}{\sqrt{x}}, & x\ge 1,\end{cases}\quad M(4;0).$$

Подробный ответ

а) Для $$x<0$$ имеем первообразную $$F(x)=\sin x+C$$. Так как график проходит через точку $$M(0;0)$$, то при $$x\ge 0$$ первообразная имеет вид $$F(x)=x+C$$, и из условия $$F(0)=0$$ получаем $$C=0$$.

Для левой части также получаем $$F(0)=\sin 0+C=0$$, значит $$C=0$$.

Итак,

$$F(x)=\begin{cases} \sin x, & x<0,\\ x, & x\ge 0. \end{cases}$$

б) Для $$x\ge 1$$ функция $$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$, поэтому первообразная имеет вид $$F(x)=2\sqrt{x}+C$$. Из условия $$F(4)=0$$ получаем

$$2\sqrt{4}+C=0,\qquad 4+C=0,\qquad C=-4.$$

Значит, при $$x\ge 1$$

$$F(x)=2\sqrt{x}-4.$$

Для $$x<1$$ имеем $$f(x)=1$$, значит $$F(x)=x+C$$. Чтобы функция была первообразной на всей области определения, при $$x=1$$ значения должны совпадать:

$$1+C=2\sqrt{1}-4=-2,$$

откуда

$$C=-3.$$

Следовательно,

$$F(x)=\begin{cases} x-3, & x<1,\\ 2\sqrt{x}-4, & x\ge 1. \end{cases}$$