Упр.253 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Объем правильной треугольной призмы равен $$V$$. Какова должна быть сторона основания, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей?

Пусть $$a$$ — сторона основания правильной треугольной призмы, $$h$$ — её высота.

Объём призмы:

$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h,$$

откуда

$$h=\frac{4V}{a^2\sqrt{3}}.$$

Площадь полной поверхности:

$$S(a)=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3ah=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a\cdot \frac{4V}{a^2\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{12V}{a\sqrt{3}}.$$

Найдём минимум функции $$S(a)$$ при $$a>0$$:

$$S'(a)=a\sqrt{3}-\frac{12V}{a^2\sqrt{3}}.$$

При минимуме $$S'(a)=0$$, значит

$$a\sqrt{3}=\frac{12V}{a^2\sqrt{3}},$$

$$3a^3=12V,$$

$$a^3=4V,$$

$$a=\sqrt[3]{4V}.$$

Ответ: $$\sqrt[3]{4V}$$.