Упр.253 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите все функции $$f$$, такие, что: а) $$f'(x)=\frac{1}{x-1}$$ и $$f(3)=-1$$; б) $$f»(x)=3-x$$, $$f(0)=1$$, $$f'(1)=0$$; в) $$f'(x)=\cos(x)$$ и $$f(e)=?$$; г) $$f»(x)=-1$$ и $$f(0)=f(2)=0$$.

1. $$f'(x)=\frac{1}{x-1}$$

   Интегрируем:

   $$f(x)=\ln|x-1|+C.$$

   Используем условие $$f(3)=-1$$:

   $$\ln|3-1|+C=-1,$$

   $$\ln 2+C=-1,$$

   $$C=-1-\ln 2.$$

   Тогда

   $$f(x)=\ln|x-1|-\ln 2-1.$$

2. $$f»(x)=3-x$$

   Интегрируем:

   $$f'(x)=3x-\frac{x^2}{2}+C.$$

   Из условия $$f'(1)=0$$ получаем:

   $$3-\frac12+C=0,$$

   $$C=-\frac52.$$

   Значит,

   $$f'(x)=3x-\frac{x^2}{2}-\frac52.$$

   Ещё раз интегрируем:

   $$f(x)=\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{6}-\frac{5x}{2}+D.$$

   Из условия $$f(0)=1$$:

   $$D=1.$$

   Следовательно,

   $$f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{2}-\frac{5x}{2}+1.$$

3. $$f'(x)=\cos x$$

   Интегрируем:

   $$f(x)=\sin x+C.$$

   Из условия $$f(e)=\pi$$:

   $$\sin e+C=\pi,$$

   $$C=\pi-\sin e.$$

   Тогда

   $$f(x)=\sin x-\sin e+\pi.$$

4. $$f»(x)=-1$$

   Интегрируем:

   $$f'(x)=-x+C.$$

   Ещё раз интегрируем:

   $$f(x)=-\frac{x^2}{2}+Cx+D.$$

   Из условия $$f(0)=0$$ получаем:

   $$D=0.$$

   Из условия $$f(2)=0$$:

   $$-\frac{4}{2}+2C=0,$$

   $$-2+2C=0,$$

   $$C=1.$$

   Следовательно,

   $$f(x)=-\frac{x^2}{2}+x.$$

Ответ

а) $$f(x)=\ln|x-1|-\ln 2-1$$;
б) $$f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{2}-\frac{5x}{2}+1$$;
в) $$f(x)=\sin x-\sin e+\pi$$;
г) $$f(x)=-\frac{x^2}{2}+x$$.