Упр.252 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. На параболе $$y=x^2$$ найдите точку, расстояние от которой до точки $$A(2; 0,5)$$ наименьшее.

Пусть абсцисса искомой точки равна $$x.$$ Тогда на параболе $$y=x^2$$ расстояние до точки $$A(2;0{,}5)$$ равно

$$S(x)=\sqrt{(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2}.$$

Найдём, при каком $$x$$ это расстояние минимально. Удобнее рассматривать квадрат расстояния:

$$S^2(x)=(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2.$$

Раскроем скобки:

$$S^2(x)=x^2-4x+4+x^4-x^2+0{,}25=x^4-4x+4{,}25.$$

Минимум $$S(x)$$ достигается там же, где минимум $$S^2(x)$$. Найдём производную:

$$\bigl(S^2(x)\bigr)’=4x^3-4.$$

Приравняем к нулю:

$$4x^3-4=0,$$

$$x^3=1,$$

$$x=1.$$

Тогда

$$y=x^2=1.$$

Искомая точка: $$(1;1).$$

Ответ

$$(1;1).$$