Упр.252 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите все первообразные для функции $$f$$ на $$\mathbb{R}$$:
   а) $$f(x)=x\sqrt{1+x^2}$$;
   б) $$f(x)=xe^{-x^2}$$;
   в) $$f(x)=\operatorname{ctg}(x),\ x\in(0;\pi)$$;
   г) $$f(x)=\operatorname{tg}(x),\ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$.

Найдём первообразные, используя замену переменной и стандартные формулы интегрирования.

1. $$f(x)=x\sqrt{1+x^2}$$

   Положим $$u=1+x^2,$$ тогда $$du=2x\,dx,$$ то есть $$x\,dx=\frac12\,du.$$

   Тогда

   $$\int x\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac12\int u^{1/2}\,du=\frac12\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C.$$

2. $$f(x)=xe^{-x^2}$$

   Положим $$u=-x^2,$$ тогда $$du=-2x\,dx,$$ то есть $$x\,dx=-\frac12\,du.$$

   Получаем

   $$\int xe^{-x^2}\,dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C=-\frac12e^{-x^2}+C.$$

3. $$f(x)=\ctg x,\quad x\in(0;\pi)$$

   Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ то

   $$\int \ctg x\,dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx.$$

   Положим $$u=\sin x,$$ тогда $$du=\cos x\,dx.$$ Получаем

   $$\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln(\sin x)+C,$$

   так как на промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ величина $$\sin x>0.$$

4. $$f(x)=\tg x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$

   Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x},$$ то

   $$\int \tg x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx.$$

   Положим $$u=\cos x,$$ тогда $$du=-\sin x\,dx.$$ Следовательно,

   $$\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\int \frac{du}{u}=-\ln|u|+C=-\ln(\cos x)+C,$$

   так как на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\cos x>0.$$

Ответ

$$F(x)=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C,$$

$$F(x)=-\frac12e^{-x^2}+C,$$

$$F(x)=\ln(\sin x)+C,\quad x\in(0;\pi),$$

$$F(x)=-\ln(\cos x)+C,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$