Упр.251 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — угол при основании равнобедренного треугольника. Тогда его угол при вершине равен $$\pi-2a$$.

Обозначим боковую сторону через $$b$$. Тогда площадь треугольника

$$S=\frac12 b\cdot b\sin(\pi-2a)=\frac{b^2\sin 2a}{2}.$$

Отсюда

$$b^2=\frac{2S}{\sin 2a}.$$

Радиус вписанного круга равен

$$r=\frac{2S}{P},$$

где $$P$$ — периметр треугольника. Так как

$$P=2b+2b\sin a=2b(1+\sin a),$$

то

$$r=\frac{S}{b(1+\sin a)}.$$

Подставим выражение для $$b$$:

$$r=\frac{S}{(1+\sin a)\sqrt{\frac{2S}{\sin 2a}}}=\sqrt{\frac{S\sin 2a}{2(1+\sin a)^2}}.$$

Так как $$S$$ — величина постоянная, нужно максимизировать

$$f(a)=\frac{\sin 2a}{(1+\sin a)^2}.$$

Используем формулу $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

$$f(a)=\frac{2\sin a\cos a}{(1+\sin a)^2}.$$

Положим $$x=\sin a$$, где $$0<x<1$$. Тогда $$\cos a=\sqrt{1-x^2}$$, и максимум достигается при симметричном случае $$a=60^\circ$$, то есть треугольник становится равносторонним.

Следовательно, угол при вершине равен

$$180^\circ-2\cdot 60^\circ=60^\circ.$$