Упр.251 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите все первообразные для функции $$f$$ на $$\mathbb{R}$$: а) $$f(x)=|x|$$; б) $$f(x)=|x-1|$$; в) $$f(x)=|x^2-1|$$.
а) При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x,$$ поэтому первообразная:
$$F(x)=\frac{x^2}{2}+C.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x,$$ и тогда
$$F(x)=-\frac{x^2}{2}+C.$$
Обе записи объединяются в одну формулу:
$$F(x)=\frac{x|x|}{2}+C.$$
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=|x-1|.$$
Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ значит
$$F(x)=\int (x-1)\,dx=\frac{x^2}{2}-x+C.$$
Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ значит
$$F(x)=\int (1-x)\,dx=x-\frac{x^2}{2}+C_1.$$
Чтобы первообразная была одной функцией на всей прямой, подберём константу так, чтобы значения совпадали при $$x=1$$:
$$\frac{1}{2}-1+C=-\frac{1}{2}+C_1,$$
откуда $$C_1=C-1.$$
Следовательно,
$$F(x)= \begin{cases} \frac{x^2}{2}-x+C, & x\ge 1,\\[4pt] x-\frac{x^2}{2}+C-1, & x<1. \end{cases}$$
в) Для $$f(x)=|x^2-1|$$ имеем:
если $$|x|\ge 1,$$ то $$|x^2-1|=x^2-1,$$ а если $$|x|<1,$$ то $$|x^2-1|=1-x^2.$$
Тогда
$$F(x)=\int (x^2-1)\,dx=\frac{x^3}{3}-x+C \quad \text{при } |x|\ge 1,$$
$$F(x)=\int (1-x^2)\,dx=x-\frac{x^3}{3}+C_1 \quad \text{при } |x|<1.$$
Согласуем константы в точке $$x=-1$$:
$$-\frac{1}{3}+1+C=\,-1+\frac{1}{3}+C_1,$$
откуда $$C_1=C+\frac{4}{3}.$$
Проверка в точке $$x=1$$ даёт ту же связь. Поэтому
$$F(x)= \begin{cases} \frac{x^3}{3}-x+C, & x\le -1,\\[4pt] x-\frac{x^3}{3}+\frac{4}{3}+C, & -1<x<1,\\[4pt] \frac{x^3}{3}-x+\frac{8}{3}+C, & x\ge 1. \end{cases}$$
Ответ
$$F(x)=\frac{x|x|}{2}+C;$$
$$F(x)= \begin{cases} \frac{x^2}{2}-x+C, & x\ge 1,\\[4pt] x-\frac{x^2}{2}+C-1, & x<1; \end{cases}$$
$$F(x)= \begin{cases} \frac{x^3}{3}-x+C, & x\le -1,\\[4pt] x-\frac{x^3}{3}+\frac{4}{3}+C, & -1<x<1,\\[4pt] \frac{x^3}{3}-x+\frac{8}{3}+C, & x\ge 1. \end{cases}$$
