Упр.250 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Опишите множество точек $$M_k$$ координатной плоскости, где $$M_k$$, $$k=0,1,2,\ldots$$, — множество точек $$M(x;y)$$, таких, что из точки $$M(x;y)$$ можно провести в точности $$k$$ касательных к параболе $$y=x^2$$.

Пусть точка касания параболы имеет абсциссу $$a$$. Тогда уравнение касательной к параболе $$y=x^2$$ в точке $$\bigl(a,a^2\bigr)$$ имеет вид

$$y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2.$$

Если точка $$M(x;y)$$ лежит на такой касательной, то

$$y=2ax-a^2,$$

или

$$a^2-2xa+y=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$a$$. Число касательных, проведённых из точки $$M(x;y)$$ к параболе, равно числу его действительных корней. Дискриминант равен

$$D=(2x)^2-4y=4(x^2-y).$$

Следовательно:

• если $$D<0$$, то касательных нет, то есть $$y>x^2$$;
• если $$D=0$$, то касательная одна, то есть $$y=x^2$$;
• если $$D>0$$, то касательных две, то есть $$y<x^2$$.

При $$k\ge 3$$ таких точек нет, так как из одной точки к параболе можно провести не более двух касательных.

Ответ: $$M_0=\{y>x^2\},\quad M_1=\{y=x^2\},\quad M_2=\{y<x^2\},\quad M_k=\varnothing,\ k\ge 3.$$