Упр.25 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство (предварительно укажите на единичной окружности множество точек $$P_x$$, таких, что $$x$$ удовлетворяет данному неравенству):
   1) а) $$\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}$$; б) $$2\cos x+1<0$$; в) $$\operatorname{tg}x<\sqrt{3}$$;
   2) а) $$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}>-\frac{1}{4}$$; б) $$\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2? \frac{1}{2}$$; в) $$2\sin^2\frac{x}{2}? \frac{1}{2}$$; г) $$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}?-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1) Используем значения тригонометрических функций на единичной окружности.

1. $$\sin x>\frac{\sqrt2}{2}$$

   Это выполняется при

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\cos x+1<0$$

   $$\cos x<-\frac12.$$

   Тогда

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x<\sqrt3$$

   Так как $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3,$$ то

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем выражения с помощью формул двойного угла.

1. $$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}>-\frac14$$

   $$\sin x>-\frac12.$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2\le \frac12$$

   $$\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\le \frac12$$

   $$1-\sin x\le \frac12$$

   $$\sin x\ge \frac12.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\sin^2\frac{x}{2}\le \frac12$$

   $$1-\cos x\le \frac12$$

   $$\cos x\ge \frac12.$$

   Значит,

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\ge -\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$\cos x\ge -\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

1) а) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$; б) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.

2) а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$; б) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n$$; в) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.