Упр.25 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

а) $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}}$$; б) $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$; в) $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}$$.

а) Умножим дробь на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt[3]3} = \frac{2-\sqrt2\cdot\sqrt[3]3+\sqrt[3]9}{(\sqrt2+\sqrt[3]3)(2-\sqrt2\cdot\sqrt[3]3+\sqrt[3]9)}.$$

Знаменатель преобразуем:

$$(\sqrt2+\sqrt[3]3)(2-\sqrt2\cdot\sqrt[3]3+\sqrt[3]9)=2\sqrt2+3.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt[3]3} = \frac{2-\sqrt2\cdot\sqrt[3]3+\sqrt[3]9}{2\sqrt2+3}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$2\sqrt2-3$$:

$$\frac{2-\sqrt2\cdot\sqrt[3]3+\sqrt[3]9}{2\sqrt2+3} = \frac{(2-\sqrt2\cdot\sqrt[3]3+\sqrt[3]9)(2\sqrt2-3)}{8-9} = (2-\sqrt2\cdot\sqrt[3]3+\sqrt[3]9)(3-2\sqrt2).$$

б) Используем формулу разности квадратов:

$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \frac{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-(\sqrt5)^2}.$$

В знаменателе:

$$(\sqrt2+\sqrt3)^2-5=2+2\sqrt6+3-5=2\sqrt6.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \frac{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}{2\sqrt6} = \frac{\sqrt6(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)}{12}.$$

в) Обозначим

$$a=\sqrt[3]2+\sqrt[3]5+\sqrt[3]7.$$

Тогда

$$\frac{1}{a} = \frac{\sqrt[3]4+\sqrt[3]25+\sqrt[3]49-\sqrt[3]10-\sqrt[3]35-\sqrt[3]14} {(\sqrt[3]2+\sqrt[3]5+\sqrt[3]7)(\sqrt[3]4+\sqrt[3]25+\sqrt[3]49-\sqrt[3]10-\sqrt[3]35-\sqrt[3]14)}.$$

После перемножения в знаменателе получаем

$$2+5+7-3\sqrt[3]{2\cdot5\cdot7}=14-3\sqrt[3]{70}.$$

Значит,

$$\frac{1}{\sqrt[3]2+\sqrt[3]5+\sqrt[3]7} = \frac{\sqrt[3]4+\sqrt[3]25+\sqrt[3]49-\sqrt[3]10-\sqrt[3]35-\sqrt[3]14}{14-3\sqrt[3]{70}}.$$

Домножим на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{\sqrt[3]2+\sqrt[3]5+\sqrt[3]7} = \frac{t}{14^2-3^2\cdot70} = \frac{t}{196-630} = \frac{t}{-434},$$

где

$$t= \left(\sqrt[3]4+\sqrt[3]25+\sqrt[3]49-\sqrt[3]10-\sqrt[3]35-\sqrt[3]14\right) \left(14+3\sqrt[3]{70}\right).$$

После раскрытия скобок и упрощения получаем

$$\frac{1}{\sqrt[3]2+\sqrt[3]5+\sqrt[3]7} = \frac{\left(\sqrt[3]4+\sqrt[3]25+\sqrt[3]49-\sqrt[3]10-\sqrt[3]35-\sqrt[3]14\right) \left(196+42\sqrt[3]{70}+9\sqrt[3]{4900}\right)}{854}.$$

Ответ

а) $$\left(2-\sqrt2\cdot\sqrt[3]3+\sqrt[3]9\right)(3-2\sqrt2);$$
б) $$\dfrac{\sqrt6(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)}{12};$$
в) $$\dfrac{\left(\sqrt[3]4+\sqrt[3]25+\sqrt[3]49-\sqrt[3]10-\sqrt[3]35-\sqrt[3]14\right)\left(196+42\sqrt[3]{70}+9\sqrt[3]{4900}\right)}{854}.$$