Упр.249 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Как определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре?

Пусть $$R$$ — радиус полукруга, а $$a$$ — ширина прямоугольной части окна. Тогда периметр окна равен

$$p=2a+2R+\pi R.$$

Отсюда

$$a=\frac{p-2R-\pi R}{2}.$$

Площадь окна:

$$S=2aR+\frac{\pi R^2}{2}.$$

Подставим выражение для $$a$$:

$$S(R)=2R\cdot \frac{p-2R-\pi R}{2}+\frac{\pi R^2}{2} =R(p-2R-\pi R)+\frac{\pi R^2}{2}.$$

Упростим:

$$S(R)=Rp-2R^2-\pi R^2+\frac{\pi R^2}{2} =Rp-2R^2-\frac{\pi R^2}{2}.$$

Это квадратичная функция, ветви направлены вниз, значит максимум достигается в вершине. Найдём производную:

$$S'(R)=p-4R-\pi R.$$

При максимуме $$S'(R)=0$$, поэтому

$$p-(4+\pi)R=0,$$

откуда

$$R=\frac{p}{\pi+4}.$$

Теперь найдём $$a$$:

$$a=\frac{p-2R-\pi R}{2} =\frac{p-(\pi+2)R}{2}.$$

Подставим найденное $$R$$:

$$a=\frac{p-(\pi+2)\frac{p}{\pi+4}}{2} =\frac{p\left(1-\frac{\pi+2}{\pi+4}\right)}{2} =\frac{p\cdot \frac{2}{\pi+4}}{2} =\frac{p}{\pi+4}.$$

Ответ: $$R=\frac{p}{\pi+4},\quad a=\frac{p}{\pi+4}.$$