Упр.249 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(x^2-1\right)(x+4)(x^3-8)\le 0$$

Разложим на множители:

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\le 0$$

Так как $$x^2+2x+4>0$$ при любых $$x$$, достаточно исследовать знак выражения

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x-2\right)\le 0.$$

Нули выражения: $$x=-4,\,-1,\,1,\,2.$$

Методом интервалов получаем:

$$x\in[-4;-1]\cup[1;2].$$

б) $$\sqrt{x^2-4}(x-3)<0$$

Область определения:

$$x^2-4\ge 0,\qquad x\in(-\infty;-2]\cup[2;\infty).$$

Так как $$\sqrt{x^2-4}\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при

$$\sqrt{x^2-4}>0 \quad \text{и} \quad x-3<0.$$

Отсюда:

$$x\ne \pm 2,\qquad x<3.$$

С учётом области определения:

$$x\in(-\infty;-2)\cup[2;3).$$

в) $$x^2(3-x)(x+2)>0$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ а при $$x=0$$ левая часть равна нулю, то $$x=0$$ не подходит. При $$x\ne 0$$ имеем $$x^2>0,$$ поэтому достаточно решить неравенство

$$(3-x)(x+2)>0.$$

Его решение:

$$-2<x<3.$$

С учётом условия $$x\ne 0$$ получаем:

$$x\in(-2;0)\cup(0;3).$$

г) $$\dfrac{(x-2)^3(x+5)}{(x+3)^2}\ge 0$$

Область определения: $$x\ne -3.$$

Так как $$(x+3)^2>0$$ при $$x\ne -3,$$ знак дроби определяется числителем. Поэтому решаем неравенство

$$(x-2)^3(x+5)\ge 0.$$

Так как степень нечётная, знак множителя $$(x-2)^3$$ совпадает со знаком $$x-2$$. Получаем:

$$(x-2)(x+5)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-5]\cup[2;\infty).$$

Точка $$x=-3$$ не входит в найденный промежуток, поэтому ответ не меняется.

Ответ: а) $$[-4;-1]\cup[1;2]$$; б) $$(-\infty;-2)\cup[2;3)$$; в) $$(-2;0)\cup(0;3)$$; г) $$(-\infty;-5]\cup[2;\infty)$$.