Упр.249 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом значении $$a$$ существует касательная к графику функции $$f(x)=x^2-ax$$, перпендикулярная прямой $$y=-x$$.

Найдём касательную к графику функции $$f(x)=x^2-ax$$, перпендикулярную прямой $$y=-x$$.

У прямой $$y=-x$$ угловой коэффициент равен $$-1$$, значит, у перпендикулярной ей прямой угловой коэффициент равен $$1$$.

Производная функции:

$$f'(x)=2x-a.$$

Касательная к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$ имеет угловой коэффициент $$f'(x_0)$$. Поэтому нужно, чтобы

$$f'(x_0)=1,$$

то есть

$$2x_0-a=1.$$

Отсюда

$$x_0=\frac{a+1}{2}.$$

Такое значение $$x_0$$ существует при любом $$a$$, следовательно, при любом значении $$a$$ существует касательная к графику функции $$f(x)=x^2-ax$$, перпендикулярная прямой $$y=-x$$.

Ответ

Да, при любом $$a$$ существует такая касательная, так как можно выбрать $$x_0=\frac{a+1}{2}$$.