Упр.248 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Из круглого бревна диаметром $$40\ \text{см}$$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $$b$$ и высотой $$h$$. Прочность балки пропорциональна $$bh^2$$. При каких значениях $$b$$ и $$h$$ прочность будет наибольшей?

Пусть $$h$$ — высота балки. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольника, вписанного в круг диаметра $$40$$ см, имеем

$$b^2+h^2=40^2=1600,$$

откуда

$$h^2=1600-b^2.$$

Прочность балки пропорциональна величине

$$R=bh^2=b(1600-b^2)=1600b-b^3.$$

Найдём максимум этой функции:

$$R'(b)=1600-3b^2.$$

При максимуме $$R'(b)=0$$, значит

$$1600-3b^2=0,$$

$$b^2=\frac{1600}{3},$$

$$b=\frac{40}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$h^2=1600-\frac{1600}{3}=\frac{3200}{3},$$

$$h=40\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Ответ: $$b=\frac{40}{\sqrt{3}}$$ см, $$h=40\sqrt{\frac{2}{3}}$$ см.