Упр.248 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ и $$b$$ прямая $$y=7x-2$$ касается графика функции $$y=ax^2+bx+1$$ в точке $$A(1;5)$$?

Так как прямая касается параболы в точке $$A(1;5),$$ эта точка принадлежит графику функции и угловые коэффициенты прямой и касательной совпадают.

1) Подставим координаты точки $$A(1;5)$$ в уравнение параболы:

$$5=a\cdot 1^2+b\cdot 1+1,$$

откуда

$$a+b+1=5,$$

$$a+b=4.$$

2) Производная функции $$y=ax^2+bx+1$$ равна

$$y’=2ax+b.$$

Так как прямая $$y=7x-2$$ касается параболы в точке $$A(1;5),$$ то

$$y'(1)=7,$$

то есть

$$2a+b=7.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a+b=4,\\ 2a+b=7. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$a=3.$$

Тогда

$$b=4-3=1.$$

Ответ

$$a=3,\quad b=1.$$