Упр.247 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом $$R$$, так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара.

Пусть $$h$$ — высота конуса, $$r$$ — радиус его основания.

Из условия описания конуса около полушара получаем соотношение по подобию:

$$\frac{R}{r}=\frac{h}{\sqrt{h^2+r^2}}.$$

Тогда

$$\frac{R^2}{r^2}=\frac{h^2}{h^2+r^2},$$

откуда

$$R^2(h^2+r^2)=h^2r^2,$$

$$r^2=\frac{R^2h^2}{h^2-R^2}.$$

Объём конуса равен

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi h\cdot \frac{R^2h^2}{h^2-R^2}=\frac13\pi R^2\frac{h^3}{h^2-R^2}.$$

Найдём минимум этого объёма при $$h>R$$. Рассмотрим функцию

$$V(h)=\frac13\pi R^2\frac{h^3}{h^2-R^2}.$$

Её производная:

$$V'(h)=\frac13\pi R^2\cdot \frac{3h^2(h^2-R^2)-h^3\cdot 2h}{(h^2-R^2)^2}=\frac13\pi R^2\cdot \frac{h^2(h^2-3R^2)}{(h^2-R^2)^2}.$$

Минимум достигается при

$$h^2-3R^2=0,$$

то есть

$$h=R\sqrt3.$$

Ответ

$$R\sqrt3$$