Упр.247 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим непрерывность в точках, где меняется задание функции или может обращаться в нуль знаменатель.

а)

$$f(x)= \begin{cases} 4-x, & x<4,\\ (x-m)^2, & x\ge 4. \end{cases}$$

Для непрерывности в точке $$x=4$$ нужно, чтобы левый и правый пределы совпадали со значением функции:

$$\lim_{x\to 4-0}(4-x)=0,\qquad f(4)=(4-m)^2.$$

Тогда

$$(4-m)^2=0 \;\Rightarrow\; m=4.$$

б)

$$f(x)=\frac{x^2-3x}{x^2-m}.$$

Чтобы функция была непрерывна на всей числовой прямой, она должна быть определена при всех $$x$$, то есть знаменатель не должен обращаться в нуль ни при каком $$x$$.

Рассмотрим уравнение

$$x^2-m=0 \;\Rightarrow\; x^2=m.$$

Если $$m\ge 0$$, то существуют действительные корни, и знаменатель обращается в нуль. Значит, это не подходит.

Если $$m<0$$, то уравнение $$x^2=m$$ не имеет действительных решений, поэтому знаменатель никогда не равен нулю, и функция непрерывна на всей числовой прямой.

Следовательно, $$m<0$$.

в)

$$f(x)= \begin{cases} 3x^2+m, & x\le 0,\\ x+2, & x>0. \end{cases}$$

Проверим непрерывность в точке $$x=0$$:

$$f(0)=3\cdot 0^2+m=m,\qquad \lim_{x\to 0+0}(x+2)=2.$$

Для непрерывности нужно

$$m=2.$$

г)

$$f(x)=\frac{5-x}{x^4+m}.$$

Чтобы функция была непрерывна на всей числовой прямой, знаменатель не должен обращаться в нуль ни при каком $$x$$.

Так как $$x^4\ge 0$$ при всех $$x$$, то минимальное значение выражения $$x^4+m$$ равно $$m$$. Поэтому при $$m>0$$ имеем

$$x^4+m>0$$

для всех $$x$$, и функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

Следовательно, $$m>0$$.

Ответ

а) $$m=4$$; б) $$m<0$$; в) $$m=2$$; г) $$m>0$$.