Упр.247 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ график функции $$f(x)=\frac{ax-x^3}{4}$$ пересекает ось абсцисс под углом $$45^\circ$$ (хотя бы в одной из точек пересечения)?

Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:

$$f(x)=\frac{ax-x^3}{4}=0 \;\Rightarrow\; x(ax-x^2)=0 \;\Rightarrow\; x(a-x^2)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\qquad x_2=\pm\sqrt{a} \quad (\text{если } a\ge 0).$$

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен $$45^\circ,$$ значит, её угловой коэффициент равен

$$\tan 45^\circ=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{a-3x^2}{4}.$$

В точках пересечения с осью абсцисс касательная должна иметь наклон $$1$$ хотя бы в одной из них.

Проверим точку $$x=0$$:

$$f'(0)=\frac{a}{4}.$$

Требуем

$$\frac{a}{4}=1,$$

откуда

$$a=4.$$

При $$a=4$$ действительно график пересекает ось абсцисс под углом $$45^\circ$$ в точке $$x=0$$.

Ответ

$$a=4.$$