Упр.246 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом $$R$$.

Пусть $$h$$ — высота конуса, $$r$$ — радиус его основания. Тогда из подобия сечений получаем

$$\frac{R}{r}=\frac{h-R}{\sqrt{r^2+h^2}}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{R^2}{r^2}=\frac{(h-R)^2}{r^2+h^2}.$$

После преобразований:

$$R^2(r^2+h^2)=(h-R)^2r^2,$$

$$R^2h^2=\bigl((h-R)^2-R^2\bigr)r^2,$$

$$R^2h^2=(h^2-2hR)r^2,$$

$$r^2=\frac{R^2h^2}{h^2-2hR}=\frac{R^2h}{h-2R}.$$

Объём конуса равен

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi h\cdot \frac{R^2h}{h-2R}=\frac13\pi R^2\frac{h^2}{h-2R}.$$

Найдём минимум этой функции при $$h>2R$$. Рассмотрим

$$f(h)=\frac{h^2}{h-2R}.$$

Тогда

$$f'(h)=\frac{2h(h-2R)-h^2}{(h-2R)^2}=\frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}.$$

Критическая точка: $$h=4R$$. При $$h>2R$$ знаменатель положителен, поэтому минимум достигается при

$$h=4R.$$

Ответ: $$4R$$.