Упр.246 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе $$xy=a^2$$ и осями координат, имеет постоянную площадь, равную $$2a^2$$, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть точка касания гиперболы $$xy=a^2$$ имеет абсциссу $$x_0$$. Тогда ордината этой точки равна $$y_0=\frac{a^2}{x_0}.$$
Уравнение касательной к графику функции $$y=\frac{a^2}{x}$$ в точке $$x_0$$ имеет вид
$$y=\frac{a^2}{x_0}-\frac{a^2}{x_0^2}(x-x_0).$$
Преобразуем:
$$y=\frac{a^2}{x_0}-\frac{a^2x}{x_0^2}+\frac{a^2}{x_0}=\frac{2a^2}{x_0}-\frac{a^2x}{x_0^2}.$$
Найдём точки пересечения касательной с осями координат.
При $$y=0$$ получаем:
$$\frac{2a^2}{x_0}-\frac{a^2x}{x_0^2}=0,$$
откуда
$$2a^2x_0=a^2x,\qquad x=2x_0.$$
Значит, касательная пересекает ось $$Ox$$ в точке $$A(2x_0,0).$$
При $$x=0$$ имеем:
$$y(0)=\frac{2a^2}{x_0}.$$
Следовательно, касательная пересекает ось $$Oy$$ в точке $$B\left(0,\frac{2a^2}{x_0}\right).$$
Треугольник, образованный осями координат и касательной, имеет катеты $$2x_0$$ и $$\frac{2a^2}{x_0}$$, поэтому его площадь равна
$$S=\frac12\cdot 2x_0\cdot \frac{2a^2}{x_0}=2a^2.$$
Площадь не зависит от выбора точки касания, значит, она постоянна и равна $$2a^2.$$
Теперь докажем, что точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть точка касания обозначена через $$M(x_0,y_0)$$, где $$y_0=\frac{a^2}{x_0}.$$ Тогда середина отрезка $$AB$$ имеет координаты
$$\left(\frac{2x_0}{2},\frac{1}{2}\cdot \frac{2a^2}{x_0}\right)=\left(x_0,\frac{a^2}{x_0}\right)=(x_0,y_0).$$
Значит, точка касания $$M$$ является серединой гипотенузы треугольника $$OAB$$. А в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Следовательно, точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: площадь треугольника постоянна и равна $$2a^2$$; точка касания является центром описанной окружности.
