Упр.245 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают). Как это сделать?

Пусть $$R$$ — радиус основания цилиндра, $$r$$ — радиус основания описанного конуса, $$H$$ — высота конуса, $$h$$ — высота цилиндра.

Из подобия сечений получаем:

$$\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$$

Отсюда

$$R(H-h)=rH,$$

$$RH-Rh=rH,$$

$$H(R-r)=Rh,$$

$$H=\frac{Rh}{R-r}.$$

Объём конуса:

$$V(R)=\frac13\pi R^2H=\frac13\pi R^2\cdot \frac{Rh}{R-r}=\frac13\pi h\cdot \frac{R^3}{R-r}.$$

Найдём минимум этого объёма при $$R>r$$. Дифференцируем:

$$V'(R)=\frac13\pi h\cdot \frac{3R^2(R-r)-R^3}{(R-r)^2}=\frac13\pi h\cdot \frac{2R^3-3rR^2}{(R-r)^2}.$$

Так как $$\frac13\pi h>0$$ и $$\left(R-r\right)^2>0$$, то для минимума нужно

$$2R^3-3rR^2=0,$$

$$R^2(2R-3r)=0,$$

откуда

$$2R-3r=0,\qquad R=\frac{3r}{2}.$$

Тогда

$$H=\frac{Rh}{R-r}=\frac{\frac{3r}{2}h}{\frac{3r}{2}-r}=\frac{\frac{3r}{2}h}{\frac{r}{2}}=3h.$$

Следовательно, конус наименьшего объёма должен иметь радиус основания $$\frac{3r}{2}$$ и высоту $$3h$$.

Ответ

$$R=\frac{3r}{2},\qquad H=3h.$$