Упр.245 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{(x-2)(x-4)}{x^2+2x-3}\ge 0$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2+2x-3=(x-1)(x+3).$$

Тогда

$$\frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+3)}\ge 0.$$

Нули числителя: $$x=2,\; x=4.$$

Нули знаменателя: $$x=1,\; x=-3.$$

По методу интервалов получаем:

$$x\in(-\infty;-3)\cup(1;2]\cup[4;\infty).$$

б) $$\frac{8}{x^2-6x+8}<1$$

Перенесём единицу в левую часть:

$$\frac{8}{x^2-6x+8}-1<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{8-(x^2-6x+8)}{x^2-6x+8}<0,$$

$$\frac{-x^2+6x}{x^2-6x+8}<0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{-x(x-6)}{(x-2)(x-4)}<0.$$

Критические точки: $$x=0,\;2,\;4,\;6.$$

По методу интервалов:

$$x\in(-\infty;0)\cup(2;4)\cup(6;\infty).$$

в) $$\frac{2x^2+5x}{x^2+5x+4}\ge 1$$

Перенесём единицу в левую часть:

$$\frac{2x^2+5x}{x^2+5x+4}-1\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2x^2+5x-(x^2+5x+4)}{x^2+5x+4}\ge 0,$$

$$\frac{x^2-4}{x^2+5x+4}\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+4)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-4,\,-2,\,-1,\;2.$$

По методу интервалов:

$$x\in(-\infty;-4)\cup[-2;-1)\cup[2;\infty).$$

г) $$\frac{x^2-2x-3}{(x+3)(x-4)}<0$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3).$$

Тогда

$$\frac{(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-4)}<0.$$

Критические точки: $$x=-3,\,-1,\;3,\;4.$$

По методу интервалов:

$$x\in(-3;-1)\cup(3;4).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-3)\cup(1;2]\cup[4;\infty)$$

б) $$(-\infty;0)\cup(2;4)\cup(6;\infty)$$

в) $$(-\infty;-4)\cup[-2;-1)\cup[2;\infty)$$

г) $$(-3;-1)\cup(3;4)$$