Упр.245 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе $$y=\frac{a}{x}$$, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.

Пусть точка касания гиперболы $$y=\frac{a}{x}$$ имеет абсциссу $$x_0$$. Тогда ордината этой точки равна $$y_0=\frac{a}{x_0}$$, а производная функции

$$y’=-\frac{a}{x^2},$$

поэтому угловой коэффициент касательной в точке $$x_0$$ равен

$$k=y'(x_0)=-\frac{a}{x_0^2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{a}{x_0}=-\frac{a}{x_0^2}(x-x_0).$$

Преобразуем его:

$$y=\frac{a}{x_0}-\frac{a}{x_0^2}x+\frac{a}{x_0}=\frac{2a}{x_0}-\frac{a}{x_0^2}x.$$

Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс, положив $$y=0$$:

$$0=\frac{2a}{x_0}-\frac{a}{x_0^2}x,$$

$$\frac{2a}{x_0}=\frac{a}{x_0^2}x,$$

$$2x_0=x,$$

то есть абсцисса точки пересечения касательной с осью $$Ox$$ равна $$2x_0$$.

Точка касания имеет абсциссу $$x_0$$, значит середина отрезка касательной, заключённого между осями координат, имеет абсциссу

$$\frac{x_0+2x_0}{2}=\frac{3x_0}{2},$$

а для проверки удобнее заметить, что касательная пересекает ось $$Oy$$ при $$x=0$$ в точке с ординатой

$$y=\frac{2a}{x_0}.$$

Тогда середина отрезка между точками пересечения с осями имеет координаты

$$\left(\frac{2x_0+0}{2},\frac{0+\frac{2a}{x_0}}{2}\right)=\left(x_0,\frac{a}{x_0}\right),$$

то есть совпадает с точкой касания.

Следовательно, отрезок касательной к гиперболе $$y=\frac{a}{x}$$, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.

Ответ

Доказано.