Упр.244 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. В конус, радиус основания которого $$R$$ и высота $$H$$, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной поверхности. Найдите радиус цилиндра.

Пусть $$r$$ — радиус цилиндра, $$h$$ — его высота. Из подобия сечений конуса получаем

$$\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}.$$

Отсюда

$$RH-rH=rH,$$

$$h=\frac{RH-rH}{R}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра равна

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r\left(r+\frac{RH-rH}{R}\right).$$

Упростим:

$$S(r)=2\pi r\left(r+H-\frac{rH}{R}\right).$$

Найдём производную:

$$S'(r)=2\pi\left(2r+H-\frac{2rH}{R}\right).$$

Для максимума площади нужно, чтобы

$$S'(r)=0,$$

то есть

$$2r+H-\frac{2rH}{R}=0.$$

Решая это уравнение, получаем

$$2r\left(1-\frac{H}{R}\right)=-H,$$

$$2r\cdot \frac{R-H}{R}=-H,$$

$$r=\frac{HR}{2(H-R)}.$$

Ответ: $$\frac{HR}{2(H-R)}$$.