Упр.243 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом $$R$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра. Тогда по теореме Пифагора для сечения шара и цилиндра

$$4R^2=4r^2+h^2,$$

откуда

$$h=2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Объём цилиндра равен

$$V(r)=\pi r^2h=2\pi r^2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Найдём максимум этой функции. Рассмотрим производную:

$$V'(r)=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}-\frac{2\pi r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}.$$

Приравниваем её к нулю:

$$4\pi r\sqrt{R^2-r^2}-\frac{2\pi r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}=0.$$

Умножим на $$\sqrt{R^2-r^2}$$:

$$4\pi r(R^2-r^2)-2\pi r^3=0,$$

$$2r(2R^2-3r^2)=0.$$

Так как $$r>0$$, получаем

$$2R^2-3r^2=0,\qquad r^2=\frac{2R^2}{3}.$$

Тогда

$$h=2\sqrt{R^2-\frac{2R^2}{3}}=2\sqrt{\frac{R^2}{3}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Ответ: $$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$.