Упр.243 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Запишите уравнение касательной к графику функции $$f$$, проходящей через точку $$M$$, если: а) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$M(0; 3)$$; б) $$f(x)=x^2-4x+1$$, $$M(-1; -3)$$; в) $$f(x)=\sqrt{2x-1}$$, $$M(-1; 0)$$; г) $$f(x)=\sqrt{9-x^2}$$, $$M(0; 6)$$.

а) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда

$$f(x)=\frac{1}{x}, \qquad f'(x)=-\frac{1}{x^2}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}(x-a).$$

Так как она проходит через точку $$M(0;3)$$, получаем

$$3=\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}(0-a)=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{2}{a},$$

откуда $$a=\frac{2}{3}.$$ Тогда

$$y=\frac{3}{2}-\frac{9}{4}\left(x-\frac{2}{3}\right)=3-\frac{9}{4}x.$$

б) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда

$$f(x)=x^2-4x+1, \qquad f'(x)=2x-4.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^2-4a+1+(2a-4)(x-a).$$

Так как касательная проходит через точку $$M(-1;-3)$$, имеем

$$-3=a^2-4a+1+(2a-4)(-1-a).$$

После преобразований:

$$a^2+2a-8=0,$$

$$a_1=-4,\qquad a_2=2.$$

При $$a=-4$$:

$$y=17-12(x+4)=-12x-31.$$

При $$a=2$$:

$$y=-3.$$

в) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда

$$f(x)=\sqrt{2x-1}, \qquad f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\sqrt{2a-1}+\frac{1}{\sqrt{2a-1}}(x-a).$$

Так как она проходит через точку $$M(-1;0)$$, получаем

$$0=\sqrt{2a-1}+\frac{1}{\sqrt{2a-1}}(-1-a).$$

Отсюда

$$2a-1-1-a=0,\qquad a=2.$$

Тогда

$$y=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}(x-2)=\frac{x+1}{\sqrt{3}}.$$

г) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда

$$f(x)=\sqrt{9-x^2}, \qquad f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\sqrt{9-a^2}-\frac{a}{\sqrt{9-a^2}}(x-a).$$

Так как она проходит через точку $$M(0;6)$$, имеем

$$6=\sqrt{9-a^2}+\frac{a^2}{\sqrt{9-a^2}}.$$

Тогда

$$6\sqrt{9-a^2}=9,$$

$$\sqrt{9-a^2}=\frac{3}{2},$$

$$9-a^2=\frac{9}{4},\qquad a^2=\frac{27}{4},\qquad a=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Подставляя, получаем две касательные:

$$y=\sqrt{3}\,x+6,$$

$$y=-\sqrt{3}\,x+6.$$

Ответ

а) $$y=3-\frac{9}{4}x$$; б) $$y=-12x-31$$ и $$y=-3$$; в) $$y=\frac{x+1}{\sqrt{3}}$$; г) $$y=\pm \sqrt{3}\,x+6$$.