Упр.242 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Из всех цилиндров, имеющих объём $$16? \text{ м}^3$$, найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда из условия объёма

$$V=\pi r^2h=16\pi,$$

откуда

$$h=\frac{16}{r^2}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{16}{r^2}=2\pi\left(r^2+\frac{16}{r}\right).$$

Найдём минимум этой функции при $$r>0$$:

$$S'(r)=2\pi\left(2r-\frac{16}{r^2}\right).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2r-\frac{16}{r^2}=0,$$

$$2r^3-16=0,$$

$$r^3=8,$$

$$r=2.$$

Тогда

$$h=\frac{16}{2^2}=4.$$

Проверим соотношение:

$$h=2r.$$

Ответ: цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности имеет $$r=2$$ м, $$h=4$$ м, то есть $$h=2r$$.