Упр.242 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Под каким углом пересекаются графики функций $$y=8-x$$ и $$y=4\sqrt{x+4}$$?

Найдём точки пересечения графиков:

$$8-x=4\sqrt{x+4}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(8-x)^2=16(x+4)$$

$$64-16x+x^2=16x+64$$

$$x^2-32x=0$$

$$x(x-32)=0$$

Получаем $$x=0$$ или $$x=32$$. Но с учётом области определения и знака правой части:

$$8-x\ge 0,\qquad x+4\ge 0,$$

то есть $$-4\le x\le 8.$$

Значит, подходит только $$x=0.$$

Найдём угол между графиками в точке пересечения. Пусть

$$f(x)=8-x,\qquad g(x)=4\sqrt{x+4}.$$

Тогда

$$f'(x)=-1,\qquad g'(x)=\frac{4}{2\sqrt{x+4}}=\frac{2}{\sqrt{x+4}}.$$

При $$x=0$$ имеем:

$$f'(0)=-1,\qquad g'(0)=\frac{2}{\sqrt{4}}=1.$$

Углы наклона касательных к оси $$Ox$$ равны соответственно $$135^\circ$$ и $$45^\circ$$, поэтому угол между графиками:

$$135^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$.