Упр.241 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Функция непрерывна в любой точке области определения, если она является многочленом или составлена из непрерывных функций без разрывов.
а)
$$f(x)=x^4-x+1$$
Это многочлен, а значит, функция непрерывна при всех $$x\in \mathbb{R}$$. Следовательно, она непрерывна в точках $$x_1=0$$ и $$x_2=-1$$.
б)
$$f(x)=\begin{cases} x+1, & x\le -1,\\ x^2-x, & x>-1 \end{cases}$$
Проверим непрерывность в точке $$x=-1$$:
$$f(-1)=(-1)+1=0,$$
$$\lim\limits_{x\to -1-}f(x)=\lim\limits_{x\to -1-}(x+1)=0,$$
$$\lim\limits_{x\to -1+}f(x)=\lim\limits_{x\to -1+}(x^2-x)=1+1=2.$$
Левые и правые пределы не равны, значит, в точке $$x=-1$$ функция не непрерывна. В точке $$x=0$$ она задаётся формулой $$x^2-x$$, поэтому там непрерывна.
в)
$$f(x)=\begin{cases} 1-x^2, & x<0,\\ 5-2x, & x\ge 0 \end{cases}$$
Проверим точку $$x=0$$:
$$\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}(1-x^2)=1,$$
$$\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0+}(5-2x)=5,$$
$$f(0)=5.$$
Так как левый и правый пределы различны, функция не непрерывна в точке $$x=0$$. В точке $$x=-1$$ она задаётся формулой $$1-x^2$$, значит, там непрерывна.
г)
$$f(x)=2x-x^2+x^3$$
Это многочлен, поэтому функция непрерывна при всех $$x\in \mathbb{R}$$. Следовательно, она непрерывна в точках $$x_1=0$$ и $$x_2=-1$$.
Ответ
а) да; б) в точке $$x_1=0$$ — да, в точке $$x_2=-1$$ — нет; в) в точке $$x_1=0$$ — нет, в точке $$x_2=-1$$ — да; г) да.
