Упр.240 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Картина высотой $$1{,}4\ \text{м}$$ повешена на стену так, что её нижний край на $$1{,}8\ \text{м}$$ выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?

Пусть $$x=AB$$ — расстояние от наблюдателя до стены. Тогда высота нижнего края картины над глазами наблюдателя равна $$BC=1{,}8$$ м, а высота верхнего края — $$BD=1{,}8+1{,}4=3{,}2$$ м.

Угол зрения по вертикали равен $$\angle DAC$$, и

$$\tan \angle DAC=\tan \angle DAB-\tan \angle CAB=\frac{3{,}2}{x}-\frac{1{,}8}{x}.$$

Так как

$$\tan \angle DAC=\frac{\frac{3{,}2}{x}-\frac{1{,}8}{x}}{1+\frac{3{,}2}{x}\cdot \frac{1{,}8}{x}}=\frac{1{,}4x}{x^2+5{,}76},$$

то нужно найти максимум функции

$$f(x)=\frac{1{,}4x}{x^2+5{,}76}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1{,}4(x^2+5{,}76)-1{,}4x\cdot 2x}{(x^2+5{,}76)^2}=\frac{1{,}4(5{,}76-x^2)}{(x^2+5{,}76)^2}.$$

Для максимума приравниваем числитель к нулю:

$$5{,}76-x^2=0,\qquad x^2=5{,}76,\qquad x=2{,}4.$$

Значит, наиболее благоприятное расстояние от стены равно $$2{,}4$$ м.

Ответ: $$2{,}4$$ м.