Упр.24 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- а) $$2\sin^2(x)+3\sin(x)=2$$; б) $$\operatorname{tg}^2(x)-4\operatorname{tg}(x)+3=0$$; в) $$2\cos^2(x)-5\cos(x)=3$$; г) $$2\sin^2(x)+\sin(x)=0$$.
- а) $$6\sin^2(x)-2\sin(2x)=1$$; б) $$\sin^2(x)-\cos^2(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$4\sin(x)\cos(x)=\sqrt{3}$$; г) $$\cos^4(x)-\sin^4(x)=1$$.
1) Решим уравнения.
$$2\sin^2 x+3\sin x=2.$$
Положим $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+3y-2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25.$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$
Отсюда $$y_1=\frac12,\quad y_2=-2.$$
Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ то подходит только $$\sin x=\frac12.$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\tg^2 x-4\tg x+3=0.$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-4y+3=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$
Получаем $$y_1=1,\quad y_2=3.$$
Значит,
$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=3.$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 x-5\cos x=3.$$
Положим $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-5y-3=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}.$$
Отсюда $$y_1=-\frac12,\quad y_2=3.$$
Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ то подходит только $$\cos x=-\frac12.$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\sin^2 x+\sin x=0.$$
Положим $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y=0.$$
$$y(2y+1)=0.$$
Следовательно,
$$y_1=0,\quad y_2=-\frac12.$$
Значит,
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Решим уравнения.
$$6\sin^2 x-2\sin 2x=1.$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$6\sin^2 x-4\sin x\cos x=\sin^2 x+\cos^2 x.$$
Тогда
$$5\sin^2 x-4\sin x\cos x-\cos^2 x=0.$$
Если $$\cos x\neq 0,$$ делим на $$\cos^2 x$$:
$$5\tg^2 x-4\tg x-1=0.$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$5y^2-4y-1=0.$$
$$D=4^2+4\cdot 5\cdot 1=16+20=36.$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{10}.$$
Получаем $$y_1=-\frac15,\quad y_2=1.$$
Следовательно,
$$\tg x=-\frac15 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$
$$x=-\arctg \frac15+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Так как $$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x,$$ то
$$-\cos 2x=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos 2x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Тогда
$$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
откуда
$$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$4\sin x\cos x=\sqrt3.$$
Так как $$2\sin 2x=4\sin x\cos x,$$ получаем
$$2\sin 2x=\sqrt3,\qquad \sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,$$
следовательно,
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos^4 x-\sin^4 x=1.$$
Разложим разность квадратов:
$$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x).$$
Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$ то
$$\cos^2 x-\sin^2 x=1.$$
Но $$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$ значит
$$\cos 2x=1.$$
Отсюда
$$2x=2\pi n,\quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ: 1) а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ или $$x=\arctg 3+\pi n$$; в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$x=\pi n$$ или $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$; 2) а) $$x=-\arctg \frac15+\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$; г) $$x=\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
